THÔNG TIN TÓM TẮT VỀ NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN TIẾN SĨ
Tên đề tài: Tương đương Morita của đại số đường Leavitt và ứng dụng
Mã số – chuyên ngành: 946 01 04 – Đại số và lý thuyết số
Nghiên cứu sinh: Ngô Tấn Phúc
Người hướng dẫn: PGS. TS. Trần Giang Nam
Cơ sở đào tạo: Viện Toán học – Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam
Những kết quả mới của luận án:
Cho E là một đồ thị hữu hạn, K là một trường và Es, là đồ thị không có đỉnh nguồn có được qua quá trình từng bước khử đỉnh nguồn từ E. Trong luận án này, chúng tôi đạt được những kết quả sau đây:
(1) Chỉ ra rằng Lg (E) tương đương Morita với tổng trực tiếp của Lx (Esp) và n bản sao của K, trong đó n là số đỉnh thu trong E và không thuộc Est. Đồng thời, chúng tôi chỉ ra rằng LK (E) đẳng cấu với tổng trực tiếp của n đại số ma trận trên K và L (F), trong đó F được xây dựng tường minh từ Esp. Như một hệ quả, chúng tôi nhận lại kết quả của Abrams, Pino, Molina (2008) về cấu trúc của đại số đường Leavitt của đồ thị hữu hạn mà mọi chu trình đều không có lối ra.
(2) Chỉ ra rằng đại số đường Leavitt của đồ thị Hopf đẳng cấu với một số bản sao của đại số đường Leavitt của một thành phần liên thông của đồ thị Hopf đã cho. Áp dụng kết quả này, chúng tôi chứng minh rằng Giả thuyết Abrams-Tomforde đúng cho một số lớp đồ thị Hopf.
(3) Đưa ra các tiêu chuẩn trên ma trận kề của E và Esĩ đề LK (E) có tính IBN. Sử dụng tiêu chuẩn này, chúng tôi nhận lại được kết quả của Abrams, Kanuni (2016) về tính IBN của đại số đường Cohn và nhận lại được kết quả của Koc, Ozaydin (2020) về tính IBN của đại số đường Leavitt của đồ thị hữu hạn mà mỗi định chỉ thuộc nhiều nhất một chu trình.
(4) Cung cấp một tiêu chuẩn thuần tuý đồ thị trên E sao cho Lx (E) có tính UGN. Từ đó, chúng tôi chỉ ra rằng tính UGN và tính IBN là tương đương trên lớp các đại số đường Leavitt của đồ thị Hopf và đồ thị Cayley.
